Croissances comparées

Propriété

Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On a : \(\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{\text e^x}{x^n}=+\infty \quad \text{et} \quad \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^n\text e^{-x}=0}\)

Exemple

Dans le repère orthonormé suivant sont représentées, en vert, la courbe représentative de la fonction exponentielle de base \(\text{e}\) et, en rouge, celle de la fonction \(g\) définie, pour tout réel \(x\) par \(g(x)=x^4\).

On constate que la courbe verte « dépasse » la courbe rouge à partir d'un point d'abscisse comprise entre \(8\) et \(9\). La croissance de la fonction exponentielle est plus rapide que celle de toute autre fonction puissance. On dit que la fonction exponentielle domine sur toute fonction du type \(x\mapsto x^n\), avec \(n\) entier naturel non nul, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).